Mathématiques – 3e – Carte mentale : Le théorème de Thalès et ses applications

📌 Qu’est-ce que le théorème de Thalès ?

• Définition : Le théorème de Thalès permet de prouver que deux triangles sont proportionnels si certaines conditions sont respectées. 🧐
• Conditions d’application :
  • Deux droites doivent être parallèles (🔗).
  • Ces droites doivent être coupées par deux sécantes (les droites qui se croisent).
• Formule : Si les conditions sont respectées, alors les longueurs des segments sont proportionnelles :
  AB / AC = DE / DF (⚖️).

🔍 Les sous-thématiques à maîtriser

• 1. Les proportions et les rapports :
  • Un rapport est une division entre deux longueurs (par exemple, AB / AC). 🧮
  • Deux rapports sont proportionnels si leur valeur est égale (par exemple, AB / AC = DE / DF). ⚖️
• 2. Les droites parallèles :
  • Les droites parallèles (🔗) ne se croisent jamais, même si on les prolonge à l’infini.
  • On les identifie souvent grâce à des symboles comme // ou des indications dans les figures géométriques.
• 3. Les triangles proportionnels :
  • Deux triangles sont proportionnels si leurs côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.
  • Exemple : Si un triangle a des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm, un triangle proportionnel pourrait avoir des côtés de 6 cm, 8 cm et 10 cm. 📐
• 4. Les applications pratiques :
  • Calculer des longueurs inconnues dans une figure géométrique. 🧮
  • Vérifier si des droites sont parallèles dans une figure. 🔍
  • Utiliser le théorème dans des problèmes concrets, comme mesurer la hauteur d’un bâtiment ou d’un arbre grâce à des triangles. 🌳🏢

✨ Les étapes pour résoudre un exercice avec Thalès

1. Étape 1 : Identifier les triangles dans la figure. 🔺
2. Étape 2 : Vérifier les conditions d’application (parallélisme des droites et sécantes). ✔️
3. Étape 3 : Écrire les rapports de proportionnalité (par exemple, AB / AC = DE / DF). ✍️
4. Étape 4 : Remplacer les valeurs connues dans la formule. 🔢
5. Étape 5 : Résoudre l’équation pour trouver la valeur inconnue. 🧮

💡 Astuces pour bien comprendre

• Utilise des couleurs pour repérer les triangles et les côtés correspondants dans une figure. 🎨
• Relis bien les conditions d’application avant de commencer un exercice. 🧐
• Entraîne-toi avec des exercices variés pour bien maîtriser la méthode. 💪

📚 Exemple pratique

Problème : Dans une figure, deux droites parallèles sont coupées par deux sécantes. Les longueurs sont les suivantes :

• AB = 4 cm
• AC = 6 cm
• DE = 8 cm
• DF = ?

Solution :

1. On vérifie que les droites sont bien parallèles. ✔️
2. On applique le théorème de Thalès : AB / AC = DE / DF.
3. On remplace les valeurs connues : 4 / 6 = 8 / DF.
4. On résout l’équation : DF = (8 × 6) / 4 = 12 cm. 🧮

Réponse : La longueur de DF est 12 cm. 🎉

🎯 À retenir absolument

• Le théorème de Thalès s’applique uniquement si les droites sont parallèles et coupées par deux sécantes. 🔗
• Les longueurs des segments sont toujours proportionnelles. ⚖️
• Utilise la formule AB / AC = DE / DF pour résoudre les exercices. 🧮