Mathématiques 4e – Leçon sur les puissances : règles, calculs et notations scientifiques

🌟 LES PUISSANCES : RÈGLES, CALCULS ET NOTATIONS SCIENTIFIQUES 🌟

🔍 QU’EST-CE QU’UNE PUISSANCE ?

Une puissance, c’est une manière rapide d’écrire un produit où un même nombre est multiplié plusieurs fois par lui-même. Par exemple :

• 2³ signifie 2 × 2 × 2, soit 8.
• 5⁴ signifie 5 × 5 × 5 × 5, soit 625.

👉 Dans une puissance, on distingue :

• La base : le nombre qu’on multiplie (par exemple, 2 dans 2³).
• L’exposant : le nombre de fois qu’on multiplie la base (par exemple, 3 dans 2³).

📏 LES RÈGLES DES PUISSANCES

Pour manipuler les puissances, il existe des règles très pratiques. Voici les principales :

1️⃣ MULTIPLICATION DE PUISSANCES DE MÊME BASE

Quand on multiplie des puissances qui ont la même base, on additionne les exposants :

a^m × aⁿ = a^m+n

Exemple : 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷, soit 128.

2️⃣ DIVISION DE PUISSANCES DE MÊME BASE

Quand on divise des puissances qui ont la même base, on soustrait les exposants :

a^m ÷ aⁿ = a^m-n

Exemple : 5⁶ ÷ 5² = 5^6-2 = 5⁴, soit 625.

3️⃣ PUISSANCE D’UNE PUISSANCE

Quand on élève une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants :

(a^m)ⁿ = a^m×n

Exemple : (3²)³ = 3^2×3 = 3⁶, soit 729.

4️⃣ PUISSANCE DE 0

Tout nombre (sauf 0) élevé à la puissance 0 est égal à 1 :

a⁰ = 1

Exemple : 7⁰ = 1.

5️⃣ PUISSANCE NÉGATIVE

Une puissance avec un exposant négatif correspond à l’inverse de la puissance positive :

a^-n = 1 / aⁿ

Exemple : 2^-3 = 1 / 2³ = 1 / 8.

🧮 CALCULER AVEC LES PUISSANCES

Pour calculer avec des puissances, il faut bien respecter les règles ci-dessus. Voici quelques astuces :

• ⚡ Simplifie les puissances avant de multiplier ou diviser.
• ⚡ Attention aux signes : une base négative élevée à une puissance paire donne un résultat positif, mais à une puissance impaire, le résultat est négatif.

Exemple :

• (-3)² = (-3) × (-3) = 9
• (-3)³ = (-3) × (-3) × (-3) = -27

🔬 NOTATION SCIENTIFIQUE

La notation scientifique est une manière d’écrire des nombres très grands ou très petits en utilisant les puissances de 10.

👉 Un nombre en notation scientifique s’écrit sous la forme :

a × 10ⁿ, où :

• a est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (1 ≤ a < 10).
• n est un entier (positif ou négatif).

Exemples :

• 123 000 en notation scientifique devient 1,23 × 10⁵.
• 0,000045 en notation scientifique devient 4,5 × 10^-5.

⚙️ COMMENT PASSER EN NOTATION SCIENTIFIQUE ?

1. Place la virgule après le premier chiffre non nul.
2. Compte combien de places tu as déplacé la virgule :
• 👉 Si tu déplaces vers la gauche, l’exposant est positif.
• 👉 Si tu déplaces vers la droite, l’exposant est négatif.

Exemple :

• Pour 45 600, on déplace la virgule de 4 places vers la gauche : 4,56 × 10⁴.
• Pour 0,00789, on déplace la virgule de 3 places vers la droite : 7,89 × 10^-3.

💡 ASTUCES À RETENIR

• 📌 Une puissance, c’est une multiplication répétée.
• 📌 Apprends bien les règles des puissances (addition, soustraction, multiplication des exposants).
• 📌 La notation scientifique est très utile pour simplifier les calculs avec des nombres très grands ou très petits.

🎯 EXERCICES POUR S’ENTRAÎNER

1️⃣ Simplifie les expressions suivantes :

• 3² × 3⁴
• 5⁶ ÷ 5³
• (2³)²

2️⃣ Écris les nombres suivants en notation scientifique :

• 78 000
• 0,00032

3️⃣ Calcule :

• (-4)²
• (-2)³

🌟 Bonne chance et amuse-toi avec les puissances ! 🌟